Wohnungsübergabe - Schlüsel fehlt, 1600 Euro Nebenkosten fehlen u.a.

Hallo, meine Schwiegermutter (Vermieterin) hat am Sonntag Wohnungsübergabe mit ihrem Mieter vereinbart. Sie läßt ihn aus dem Mietvertrag vorzeitig raus. Normaler Termin wäre der 31.08. gewesen. Er wohnte 1 1/2 Jahre in der Wohnung.
Folgende Probleme:
1. Er schuldet ihr noch 870 Euro Nebenkostennachzahlungen vom letzten Jahr und für dieses Jahr 400 Euro. Ebenso hat er die Miete für Juli (bis 15.07.) noch nicht überwiesen und weigert sich, diese im Moment zu zahlen. Meine Schwiegermutter sagte daraufhin, dass er die Julimiete am Sonntag mitbringen soll, ansonsten muss er den Mietvertrags 31.08. erfüllen. Er sieht das als Erpressung an und sagt, dass er auch noch andere Auslagen hat und die Miete nicht zahlen kann.
2. Er hat einen Schlüssel für die Schließanlage verloren und wollte ihn nachmachen lassen, was aber bis heute nicht geschehen ist, da er ja dafür die Genehmigung des Vermieters haben muss und einen Sicherheitscode dafür benötigt. Bis jetzt hat er noch nicht danach gefragt, so dass wir davon ausgehen, dass er den Schlüssel nicht nachgemacht hat.
3. Er hat nur 1 Zimmer geweißelt, er weigert sich, das Schlafzimmer auch noch zu weißeln, obwohl er die Wohnung geweißelt übernommen hat und auch so verlassen soll. (Mietvertrag).
4. Er hat gesagt, dass er den Kohlefilter der Dunstabzugshaube ausgewechselt hat, was aber nachweislich nicht geschehen ist.

Jetzt die Fragen:

1. Es liegt eine Kaution von 1.350 Euro vor, die aber nach Abzug der Nebenkosten immer noch nicht reicht für die halbe Monatsmiete für den Juli. Kann sie ihn "zwingen", den Mietvertrag bis zum Ende zu erfüllen? Schriftlich wurde noch nichts vereinbart, er hat nur eine mündliche Zusage bekommen, wenn ein Nachmieter für 01.08. da ist und er seine Schulden bezahlt hat. Nachmieter ist noch keiner da, aber sie wäre froh, wenn er raus ist, Schulden hat er ja auch noch nicht bezahlt.
2. Kann es passieren, dass wenn die Hausverwaltung sagt, dass die gesamte Schliessanlage ausgetauscht werden muss (betrifft 16 Mieter in dem Wohnblock, d.H. es müssten neue Schlüssel ausgeteilt werden für Haus, Keller, Tiefgarage usw.), der Mieter die Kosten tragen muss oder der Vermieter?
3. Muss er auch noch das Schlafzimmer weißeln?
4. Ist zwar kleinlich, aber nur zur Info, ob er den Kohlfilter wechseln muss?

danke schon mal und schönes Wochenende