Nachmieter schon früher in der Wohnung, wer zahlt Miete?

Das Mietverhältnis ist fristgerecht vom Mieter zum 30.11. gekündigt. Nachmieter werden nach Absprache mit dem Vermieter schon vor Ablauf der Kündigungsfrist, am 01.11. in die Wohnung einziehen und werden diesen Monat schon in die Wohnung für Renovierungsarbeiten gelassen. Nun wurde im Vorraus für diesen Monat von den alten Mietern schon Miete bezahlt. Wenn die Nachmieter schon zum 15. 10. in die Wohnung gehen zum renovieren, müssen sie dann bereits alle Schlüssel erhalten? Und dürfen die alten Mieter die restliche Miete vom Vermieter zurückerstatten, da die Nachmieter schon in der Wohnung sind?