Mündliche Kündigung Mietvertrag rechtsgültig

Hallo,

ich habe mal eine Frage. Bin alleinstehende Mutter von 3 Kindern und wohne in einer teuren Wohnung welche mir nun zu klein geworden ist.
Ich habe meinem Vermieter angerufen mitgeteilt, dass ich gerne so schnell wie möglich ausziehen möchte.
Mein Vermieter bestand auf eine schriftliche Kündigung und sagte, dass ich er von der Kündigungsfrist von 3 Monaten bestehe. Es sei denn ich finde eine adäquaten Nachmieter für die Wohnung.

Ich habe zunächst nichts unternommen. Also keine schriftliche Kündigung abgegeben, weil ich wirklich nicht weiss wie ich das geregelt bekommen soll,
denn ich kann nicht 2 Wohnungen paralell laufen lassen.

In mir ist auch der Gedanke nun hochgekommen, weil das andere Wohnungsangebot viel verlockender ist, einfach auszuziehen und die Mietschuld, die ich dann noch haben werde mit der Kaution verrechnen lasse.
Allerdings wohne ich schon seit ca. 6 Jahren in der Wohnung und im Mietvertrag steht, dass ich beim Auszug renovieren muss, weil ich die Wohnung renoviert übernommen habe.

Da ich finanziell nicht sehr gut dastehe (Alleinerziehend, 3 Kinder, Halbtagsjob) und so gut wie keine Rücklagen habe, weiss ich nicht wie diese Situation meistern soll.

Aber ich kann mich doch nicht an eine Wohnung knebeln lassen.

Vorallem, ist meine mündliche Kündigung nun rechtskräftig oder gilt diese erst ab dem Zeitpunkt der schriftlichen Einreichung?