Mietrecht Fragen für Stichwort "nachweislich"

NK zahlen obwohl ich die Wohnung nachweislich nicht betrete?

Hallo! Am 01.12 ziehe ich vom Zimmer im Studentenwohnheim in eine richtige Wohnung. Wegen der Kündigungsfrist im Wohnheim, läuft der Vertrag aber erst am 31.01, also 2 Monate nach meinem Auszug ...