Wer muss Nachmieter suchen?

Hallo. Ich habe meine Wohnung gekündigt, da ich eine neue gefunden habe. Ich halte auch die 3 Monate Kündigungsfrist ein. Wer muss aber jetzt innerhalb dieser 3 Monate einen Nachmieter suchen? Bin ICH verpflichtet, einen Nachmieter zu suchen, oder ist das Sache des Vermieters? Wenn ich nach den 3 Monaten keinen Nachmieter gefunden habe, kann der Vermieter dann sagen, das ich solange in der Wohnung bleiben soll, bis ICH ein Vermieter gefunden habe?