miete bezahlt obwohl kein nachmieter in aussicht war......

hallo, meine frage ist etwas kompliziert. ich habe meine wohnung zum 30.9. gekündigt, dann gab es aber mit dem teppich probleme und ich konnte die wohnung erst zum 31.10. übergeben...mein vermieter hat auch nicht angedeutet das schon ein nachmieter da wäre oder dergleichen zumal in dem haus ohnehin weitere wohnungen frei sind. jetzt will er mir die komplette miete für den oktober von meiner kaution abziehen obwohl er die wohnung sowieso nicht vermietet hätte und er hat mir das vorher nicht gesagt. darf er das einfach so oder muss er mir einen nachweis bringen das er die wohnung hätte vermieten können??? schon mal danke im voraus.....gruß