doppelt vermietet ?

Hallo zusammen,

mein Problem sieht folgendermaßen aus :
aufgrund einer recht plötzlich auftretenden Pflegebedürftigkeit meiner Mutter sind wir im September umgezogen.
Der Mietvertrag wurde fristgerecht zum 30.11. gekündigt. Die Endabnahme fand in der letzten Oktoberwoche statt.
Ebenso wurden die Schlüssel übergeben. Grund dafür war, dass der Vermieter noch Handwerker (Maler) ins Haus lassen wollte.
Im Gegenzug wurde das Vertragsende mündlich auf den 15.11. vorverlegt.
Somit hatten wir also noch die halbe Novembermiete zu zahlen. Als wir vorgestern vorbeifuhren, um die Post aus dem
Briefkasten zu holen, sahen wir, dass der Nachmieter mit Familie wohl schon am Einziehen ist (vollgepacktes Auto + Anhänger
ließen darauf schließen).
Nun meine Frage :
darf der Vermieter den Nachmieter schon einziehen lassen, während wir noch die Miete zahlen ? gilt dies auch für evtl.
Renovierungsarbeiten, die der Nachmieter vorab erledigen will ? wie sieht es aus, wenn der Nachmieter auch schon Miete zahlen müßte ?