Kosten der Wohnungsauflösung zu Lasten des Erben?

Hallo zusammen,
der zweite Mann meiner verstorbenen Oma, also kein Blutsverwandter, hat mich mangels eigenem Nachwuchs zu seinem Erben ernannt.
Er wohnt seit Jahrzehnten zur Miete.
Nun ist die Frage aufgetaucht wer für die Kosten der Entsorgung seines alten Mobiliars aufkommen muß, falls auch er einestags stirbt.
Es ist alles alt und ziemlich runtergekommen und verraucht.
Die Wohnung muß für eine Neuvermietung sowieso komplett saniert werden.
Geht die Einrichtungsentsorgung zu Lasten des Vermieters, oder kann er mich als Erben dafür belangen?