Wer zahlt Gebühren für das Sparbuch der Kaution?

Folgende Situation:
Für die Mietkaution wurde ein Sparbuch bei einer Bank eröffnet, bei dem ich als Mieter der Kontoinhaber/Verfügungsberechtigte bin und mein Vermieter der Pfandgläubiger. Das Sparbuch verbleibt weiterhin beim Vermieter. Nun wird für das Sparbuch eine Gebühr verlangt, die der Mieter vom Sparbuch abziehen möchte.

Jetzt meine Frage:
Kann der Vermieter die Kosten für das Sparbuch auf mich umlegen, da ich ja der Kontoinhaber bin?