Ist eine erneute Schufa-Auskunft zwingend?

Der Mietvertrag lautet auf mich und meinen Bruder. Mein Bruder zog aus. Ich informierte den Vermieter (Wohnungsbaugesellschaft) über den Auszug meines Bruders und bat, während ich weiterhin Mieter bleibe, um Entlassung meines Bruders aus dem Mietvertrag.

Jetzt verlangt der Vermieter eine aktuelle Schufa-Auskunft. Ich habe nichts zu verbergen, scheue aber die Kosten und den Aufwand hierfür. Muss nicht der Vermieter selbst die Kosten tragen? Meine Einwilligung zur Schufa-Auskunft kann er gerne haben.

Gruß Carsten