Sie haben ein Sondernutzungsrecht!
Sie dürfen den Balkon für fast alles nutzen, solange sie Niemanden mit der Nutzung beinträchtigen!

Ich kann mir nicht vorstellen, das es wirklich eine beeinträchtigung ist, wenn sie Ihre Wäsche auf dem Balkon trocknen bzw. luften.
(Oder Was für eine Art Wäsche hängen sie Auf)

Sie sollten mit dem Vermieter Reden und fragen, warum das Verbot aufgestellt wurde.

Reden ist meistens besser wie Streiten.