Brandschaden. Wer haftet?

Ich habe einen Heizlüfter aufgestellt und etwas abseits davon lagen ein paar Kissen aufgestapelt. Als ich kurz in's Bad ging,fiel währenddessen ein Kissen in die Nähe des Heizlüfters (mit dem Zipfel in die Speichen) und fing Feuer. Als ich den Geruch bemerkte,hatte der Teppich Feuer gefangen und und auch der Linoleumboden (festverklebt von der Vermieterin) hat Schäden behalten.
Ich hörte,dass diese Schäden am Boden die Gebäudeversicherung der Vermieterin zahlen müsste. Stimmt das soweit?

Ich sprach mit meiner Vermieterin und sagte ihr das mit der Gebäudeversicherung. Sie wollte sich erkundigen und gab mir eine Adresse eines Handwerkers, den ich bestellte und der den Schaden behob. Nun bekomme ich 3 Wochen später einen Zettel der Vermieterin in dem steht,dass ich ihr den Rechnungsbetrag auf ihr Konto überweisen soll.

Was soll ich tun???