Neuer Eigentümer: Kautionssparbuch umschreiben

Hallo zusammen,
ich wohne seit 12 oder 13 Jahren in einer Mietwohnung, die nun einen neuen Eigentümer hat. Der will nun die Kaution, zwei Kaltmieten, auf seine Adresse umgeschrieben haben. Auf dem Kautionssparbuch ist aber mittlerweile mit Zinsen viel mehr drauf - muss ich die Differenz mitumschreiben lassen oder komm ich irgendwie an die Zinsen dran? Herzlich Dank!